分析 观察题目条件与结论的式结构后会闪现两个念头:(1)在a、b、c为任意值时,等式通常是不成立的,从而在a、b、c之间存在比题给条件更简单的关系;(2)作为特例考虑,显然三个数中有两个互为相反数时,条件与结论均成立,这意味着条件式子含有因式(a+b)或(b+c)或(c+a),由于轮换对称性,则必含有(a+b)(b+c) (c+a)于是数学直觉形成,只需化简条件至既定目标即可推得结论。这个直觉来源于过去的运算经验—知识组块,也来源于对题给的图式表象的象质转换直感。 2、强调数形结合,发展几何思维与类几何思维。 数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一,而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现,对于几何问题要培养几何自身的变换、变形的直观感受能力。对于非几何问题则要用几何眼光去审视分析就能逐步过渡到类几何思维。 例2:若a<b<c,求函数y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值。 分析:数轴上两点间的距离公式AB=|xA-xB|,而数a、b、c在数轴上大致位置如图所示 a b c
求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值。即在数轴上求点x,使它到a、b、c的距离之和最小。显然当x定在a、c之间,|x-a|+|x-c|最小。所以 当x=b时,y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的值最小。 3、重视整体分析,提倡块状思维。 在解决数学问题时要教会学习从宏观上进行整体分析,抓住问题的框架结构和本质关系,从思维策略的角度确定解题的入手方向和思路。在整体分析的基础上进行大步骤思维,使学生在具有相应的知识基础和已达到一定熟练程度的情况下能变更和化归问题,分析和辨认组成问题的知识集成块,培养思维跳跃的能力。在练习中注意方法的探求,思路的寻找和类型的识别,养成简缩逻辑推理过程,迅速作出直觉判断的洞察能力。 例3 :I为△ABC的内心,AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F,求证:AD+BE+CF>AB+BC+CA D E F B A C I 分析:细心观察图形,寻求可运用的知识组块。有两个形象直感不难获得:(1)由内心性质知DI=DB=DC;(2)应运用三角形不等式的适当组合构成特征不等式,由此得到启发可将AD分成两段推证(BE、CF类同),即DB+DC>BC可以推出DI> BC及AI+IB>AB。再得另外四个类似不等式后,将它们同向相加即可推至结论。
4、鼓励大胆猜测,养成善于猜想的数学思维习惯。 数学猜想是在数学证明之前构想数学命题思维过程。“数学事实首先是被猜想,然后才被证实。”猜想是一种合情推理,它与论证所用的逻辑推理相辅相成。对于未给出结论的数学问题,猜想的形成有利于解题思路的正确诱导;对于已有结论的问题,猜想也是寻求解题思维策略的重要手段。数学猜想是有一定规律的,并且要以数学知识的经验为支柱。但是培养敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质。因此,在数学教学中,既要强调思维的严密性,结果的正确性,也不应忽视思维的探索性和发现性,即应重视数学直觉猜想的合理性和必要性。 例4:如图,正方形ABCD中,BC=2厘米,现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发,点E沿线BA以1厘米/秒的速度向点A运动,点F沿折线A—D—C以2厘米/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为t(秒)(1≤t≤2),EF与 AC相交于点P,问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求AP∶PC的值。 猜想:点P的位置不变。分析:因为点E离开点B的时间为t(秒),所以AE=(2-1t)厘米。因为点F离开点A的时间为t(秒),速度为2厘米/秒,所以CF=(4-2t)厘米。则: E F D A B C P 由于AE‖FC,因式AP∶PC=AE∶CF=1∶2,所以点P的位置不变。