初中数学笔记

如题所述

数学定理
三角形三条边的关系
定理：三角形两边的和大于第三边
推论：三角形两边的差小于第三边
三角形内角和
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
推论1 直角三角形的两个锐角互余
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角
角的平分线
性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言：
∵OC是∠AOB的角平分线（或者∠AOC＝∠BOC）
PE⊥OA，PF⊥OB
点P在OC上
∴PE＝PF（角平分线性质定理）
判定定理 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
几何语言：
∵PE⊥OA，PF⊥OB
PE＝PF
∴点P在∠AOB的角平分线上（角平分线判定定理）
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等
几何语言：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等边对等角）
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何语言：
（1）∵AB＝AC，BD＝DC
∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
（2）∵AB＝AC，∠1＝∠2
∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
∴∠1＝∠2，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
推论2 等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°
几何语言：
∵AB＝AC＝BC
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°）
等腰三角形的判定
判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
几何语言：
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC（等角对等边）
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
几何语言：
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝AC＝BC（三个角都相等的三角形是等边三角形）
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
几何语言：
∵AB＝AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
几何语言：
∵∠C＝90°，∠B＝30°
∴BC＝ AB或者AB＝2BC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
线段的垂直平分线
定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
几何语言：
∵MN⊥AB于C，AB＝BC，（MN垂直平分AB）
点P为MN上任一点
∴PA＝PB（线段垂直平分线性质）
逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
∵PA＝PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线判定）
轴对称和轴对称图形
定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定理3 两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称
勾股定理
勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即
a2 ＋ b2 ＝ c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形
四边形
定理 任意四边形的内角和等于360°
多边形内角和
定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n － 2）·180°
推论 任意多边形的外角和等于360°
平行四边形及其性质
性质定理1 平行四边形的对角相等
性质定理2 平行四边形的对边相等
推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC，AB‖CD（平行四边形的对角相等）
∠A＝∠C，∠B＝∠D（平行四边形的对边相等）
AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分）
平行四边形的判定
判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD‖BC，AB‖CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD＝BC，AB＝CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AO＝CO，BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD‖BC，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
矩形
性质定理1 矩形的四个角都是直角
性质定理2 矩形的对角线相等
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD（矩形的对角线相等）
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°（矩形的四个角都是直角）
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言：
∵△ABC为直角三角形，AO＝OC
∴BO＝ AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言：
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言：
∵AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
菱形
性质定理1 菱形的四条边都相等
性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
几何语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四条边都相等）
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC
（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）
判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
几何语言：
∵AB＝BC＝CD＝AD
∴四边形ABCD是菱形（四边都相等的四边形是菱形）
判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：
∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
正方形
性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称和中心对称图形
定理1 关于中心对称的两个图形是全等形
定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
梯形
等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
几何语言：
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（等腰梯形在同一底上的两个角相等）
等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
几何语言：
∵∠A＝∠B，∠C＝∠D
∴四边形ABCD是等腰梯形（在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）
三角形、梯形中位线
三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半
几何语言：
∵EF是三角形的中位线
∴EF＝ AB（三角形中位线定理）
梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半
几何语言：
∵EF是梯形的中位线
∴EF＝ (AB＋CD)（梯形中位线定理）
比例线段
1、 比例的基本性质
如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc
2、 合比性质
3、 等比性质
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
几何语言：
∵l‖p‖a
（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例）
推论 平行与三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边
垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵OC⊥AB，OC过圆心
（垂径定理）
推论1
（1） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径
（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
（2） 弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵AC＝BC，OC过圆心
（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
几何语言：
（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）
推论2 圆的两条平分弦所夹的弧相等
几何语言：∵AB‖CD
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
圆周角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直角
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
圆的内接四边形
定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
几何语言：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠ADB＝180°，∠B＝∠ADE
切线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠ACM所对的是 ， =
∴∠BCN=∠ACM
和圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等
几何语言：∵弦AB、CD交于点P
∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点P
∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB（切割线定理）
推论 从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等
几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB（切割线定理推论）

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