F是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆离心率为1/2,点C在x轴上,BC⊥BF,B、C、F三点确定的圆M恰好与直线L1:x+根号3 y+3=0相切。
求椭圆的方程。
如图。
解:椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),e=a/c=1/2
则a=2c,b=√3c
又F(-c,0),B(0,√3c),则k1=√3
BF⊥BC,BC的k2=-1/√3
即c(3c,0)
三角形FBC的外接圆心为M(c,0),R=2c
由点到直线的距离d=│c+0+3│/2=R=2c
得:c=1,a=2,b=√3
椭圆方程为:x²/4+y²/3=1