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第1个回答 2015-01-09
解：（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1=kx1+m，y2=kx2+m
，则弦｜AB｜=√（1+k^2）*︱x1-x2︱，因为k1、k、k2成等比数列，所以k^2=k1*k2,而k1=y1/x1,k2=y2/x2===>y1y2/x1x2=k^2===>
(kx1+m)(kx2+m)/(x1x2)=k^2+m[m+k(x1+x2)]/(x1x2)=k^2
===>m[m+k(x1+x2)]/(x1x2)=0
显然m<>0，否则y=kx,A,O,B三点共线，===>m/x1x2<>0===>m+k(x1+x2)=0......... (2)
将y=kx+m 代入方程x^2+4y^2-4=0，化简，得
(1+4k^2)x^2+8kmx+4(m^2-1)=0............(1)
x1,x2是方程（1）的解，===>x1+x2= -8km/(4k^2+1)代入（2）式，得m-8k^2m/(4k^2+1)=0
而m不等于0，所以 1-8k^2/(4k^2+1)=0===>4k^2=1代入（1）式并化简，得 x^2+4kmx+2(m^2-1)=0.
所以 x1+x2=-4km ，x1x2=2(m^2-1)
三角形AOB的面积S=|AB|*h/2 ， h为原点O到直线AB:y=kx+m的距离，所以h=|m|/√（1+k^2）,而
｜AB｜=√（1+k^2）*︱x1-x2︱===>S=√（1+k^2）*︱x1-x2︱*h/2=|m|*|x1-x2|/2
︱x1-x2︱=√[（x1+x2）^2- 4x1x2]=√(-4km)^2-4*2(m^2-1)=2√(2-m^2)===>S=|m|*√(2-m^2)>=√6/3
===>√(2-m^2)m^2>=√6/3===>(2-m^2)m^2>=2/3===>1-√3/3<=m^2<=1+√3/3===>
√(1-√3/3)<=m<=√(1+√3/3).追问
，则弦｜AB｜=√（1+k^2）*︱x1-x2︱，因为k1、k、k2成等比数列，所以k^2=k1*k2,而k1=y1/x1,k2=y2/x2===>y1y2/x1x2=k^2===>
(kx1+m)(kx2+m)/(x1x2)=k^2+m[m+k(x1+x2)]/(x1x2)=k^2
===>m[m+k(x1+x2)]/(x1x2)=0
显然m<>0，否则y=kx,A,O,B三点共线，===>m/x1x2<>0===>m+k(x1+x2)=0......... (2)
将y=kx+m 代入方程x^2+4y^2-4=0，化简，得
(1+4k^2)x^2+8kmx+4(m^2-1)=0............(1)
x1,x2是方程（1）的解，===>x1+x2= -8km/(4k^2+1)代入（2）式，得m-8k^2m/(4k^2+1)=0
而m不等于0，所以 1-8k^2/(4k^2+1)=0===>4k^2=1代入（1）式并化简，得 x^2+4kmx+2(m^2-1)=0.
所以 x1+x2=-4km ，x1x2=2(m^2-1)
三角形AOB的面积S=|AB|*h/2 ， h为原点O到直线AB:y=kx+m的距离，所以h=|m|/√（1+k^2）,而
｜AB｜=√（1+k^2）*︱x1-x2︱===>S=√（1+k^2）*︱x1-x2︱*h/2=|m|*|x1-x2|/2
︱x1-x2︱=√[（x1+x2）^2- 4x1x2]=√(-4km)^2-4*2(m^2-1)=2√(2-m^2)===>S=|m|*√(2-m^2)>=√6/3
===>√(2-m^2)m^2>=√6/3===>(2-m^2)m^2>=2/3===>1-√3/3<=m^2<=1+√3/3===>
√(1-√3/3)<=m<=√(1+√3/3).追问
给图好吗，这个不好看懂
追答图不好画，哪一步看不懂，请追问！！！，否则请采纳！！！！！
本回答被提问者采纳第2个回答 2015-01-08
设A(x1,y1)、B(x2,y2)
所以AB=√[(x1-x2) ²+(y1-y2) ²],而AB在直线上，所以y1=kx1+m、y2=kx2+m
所以y1-y2=k(x1-x2)
所以AB=√（1+k²）*︱x1-x2︱=√（1+k²）*√[（x1+x2）²- 4x1x2]
因为k1、k、k2成等比数列，所以k²=k1*k2,而k1=y1/x1,k2=y2/x2.所以y1y2/x1x2=k²
将y=kx+m代入椭圆方程，可得x1x2=(4m²-4)/(4k²+1)、x1+x2=8km/(4k²+1)
同理可得y1y2=(m²-4k²)/(4k²+1)、y1+y2=2m/(4k²+1)
所以(m²-4k²)/(4k²+1)* (4k²+1) /(4m²-4)，即(m²-4k²)/(4m²-4)=k²,则k²=1/4
S=1/2*AB*（原点到直线的距离）=1/2*AB*|m|/√（1+k²）
将AB=√（1+k²）*√[（x1+x2）²- 4x1x2]代入，则S=1/2*|m|*√[（x1+x2）²- 4x1x2]= 1/2*|m|*4√(k²+1-m²)/(4k²+1) ≥√6/3，所以|m|*√(5/4-m²) ≥√6/3，可得m范围追问
所以AB=√[(x1-x2) ²+(y1-y2) ²],而AB在直线上，所以y1=kx1+m、y2=kx2+m
所以y1-y2=k(x1-x2)
所以AB=√（1+k²）*︱x1-x2︱=√（1+k²）*√[（x1+x2）²- 4x1x2]
因为k1、k、k2成等比数列，所以k²=k1*k2,而k1=y1/x1,k2=y2/x2.所以y1y2/x1x2=k²
将y=kx+m代入椭圆方程，可得x1x2=(4m²-4)/(4k²+1)、x1+x2=8km/(4k²+1)
同理可得y1y2=(m²-4k²)/(4k²+1)、y1+y2=2m/(4k²+1)
所以(m²-4k²)/(4k²+1)* (4k²+1) /(4m²-4)，即(m²-4k²)/(4m²-4)=k²,则k²=1/4
S=1/2*AB*（原点到直线的距离）=1/2*AB*|m|/√（1+k²）
将AB=√（1+k²）*√[（x1+x2）²- 4x1x2]代入，则S=1/2*|m|*√[（x1+x2）²- 4x1x2]= 1/2*|m|*4√(k²+1-m²)/(4k²+1) ≥√6/3，所以|m|*√(5/4-m²) ≥√6/3，可得m范围追问
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