【急求】高中数学中关于圆锥曲线的选择题方法

【急求】高中数学，圆锥曲线方面选择题中的难题，应该如何做出合情的估计。因为这类题都很麻烦，而作为选择题是可以通过特殊的角度估计、看出答案的。在下就想问问如何正确的估计出答案？？？（特指选择中的难题，比如一群叙述后，问形成的曲线类型；或是两个圆锥曲线套在一起，问离心率取值范围等等)

一)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于| |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| |，则这样的点不存在；若距离之和等于| |，则动点的轨迹是线段 .
2.椭圆的标准方程： （ ＞ ＞0）， （ ＞ ＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(二)椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为 （ ＞ ＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x= 和y= 所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个 （-a，0）、 （a，0） （0，-b）、 （0，b）.
线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 （e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性， （ ＞ ＞0）的准线有两条，它们的方程为 .对于椭圆 （ ＞ ＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即 .
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设 （-c，0）， （c，0）分别为椭圆 （ ＞ ＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为 ， .
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有 = + 、 两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
4.椭圆的参数方程
椭圆 （ ＞ ＞0）的参数方程为 （θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同： ；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆 的参数方程是 .
5.椭圆的的内外部
（1）点 在椭圆 的内部 .
（2）点 在椭圆 的外部 .
6. 椭圆的切线方程
(1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .
（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）椭圆 与直线 相切的条件是
(三)双曲线及其标准方程
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于| |）的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜| |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=| |，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞| |，则无轨迹.
若 ＜ 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 ＞ 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
2. 双曲线的标准方程： 和 （a＞0，b＞0）.这里 ，其中| |=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果 项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(四)双曲线的简单几何性质
1.双曲线 的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率 ＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.
2. 双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式： ，其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是 和 .双曲线 的焦半径公式
， .
4.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
5.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .
(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.
6. 双曲线的切线方程
(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
(五)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
、 、 、 .
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程 ；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x +x +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
4.抛物线 上的动点可设为P 或 P ，其中 .
5.二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 .
6.抛物线的内外部
(1)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(2)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(3)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(4) 点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
7. 抛物线的切线方程
(1)抛物线 上一点 处的切线方程是 .
（2）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .（3）抛物线 与直线 相切的条件是 .
(六).两个常见的曲线系方程
(1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是
( 为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .当 时,表示椭圆; 当 时,表示双曲线.
(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
（弦端点A ，由方程 消去y得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）.
(八).圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .
（2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是
.
四．基本方法和数学思想
1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆 （a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则 （e为离心率）；
2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线 （a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:
（1）当P点在右支上时， ；
（2）当P点在左支上时， ；（e为离心率）；
另：双曲线 （a>0,b>0）的渐进线方程为 ；
3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则 ；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点， ；
4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；
5.共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， ≠0）；
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，
一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长
,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；
7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 ，焦准距为p= ，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线 （a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;
8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；
9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1） ＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2= ;
10.过椭圆 （a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则 ，过右焦点的弦 ；
11.对于y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（ ，y0）,以简化计算;
12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆 （a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM= ；对于双曲线 （a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM= ；对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB＝
13.求轨迹的常用方法：
（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；
（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；
（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；
（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。

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