数学建模的相关问题

几何光学问题

问题分析中数学建模思想运用之初步探索

引言
数学建模是解决各种实际问题的一种思考方法，它从量和形的侧面去考察实际问题。
在具体的问题分析中，应尽可能通过抽象（或简化）确定出主要的参量、参数运用与问题学科有关的定律、原理建立起它们间的某种关系，这样一个明确的问题就转化为简化了的一个数学模型。
本文就笔者的一些具体教学中所遇之问题分析，结合对数学建模思想的理解，谈一些认识。

数学建模的一般过程
关于数学建模之一般过程，苏州市电教馆殷堰工先生在《关于中学数学建模教学的思考》（《苏州教育》2003.3）一文中，把数学建模的过程概括为“五部曲”，即理解问题——简化假设——建立模型——求解模型——检验模型。在学习殷先生总结之基础上，结合笔者具体教学实践，窃以为在“五部曲”基础上更可以简化为：问题提出与分析——模型建立——问题解决与拓展三步。具体如图－1所示：

实际问题——————→分析、联想、抽象
↑（回答） ↓
问题解答←——————建 立 数 学 模型

(图－1)
即其最基本之过程为
分析研究实际问题的对象和特点。
抽象出具有关键性作用的基本数量关系，并确定其相互间本质关系。
用概念、符号、图像等数学工具表达出事物的对象及其相互关系。

问题分析中数学建模思想的运用例举
由费马原理到光的反射路径问题中轴对称知识及相应拓展。
问题提出：
如图－2所示，点光源S发出光线经平面镜M反射后，恰好经过P点，试求其入射点。
问题分析：
实际问题之知识相关点有光的反射定律，即：反射光线与入射光线共面；反射光线与入射光线分居与法线两侧；反射角等于入射角。但若仅凭反射定律而从角度出发，不可能解决这一问题（不能通过图－3所示，测量入射角和反射角之角度来找到入射点O,使得∠SON＝∠PON）

那么该问题又如何解决呢？
费马原理：光在指定两点间的传播，其实际的光程是一个极值，也就是说，光总是沿光程值最小、最大或恒定的路径传播。（表达式从略，请参考几何光学有关教材或书籍）

模型建立及问题解答：

如图－4所示，作光源S点的像点S’（即点S关于平面镜M的轴对称点），连结S’A,与平面镜M相交于点O，易证SO＝S’O，即SO+OA＝S’O+OA＝S’A，显然由“两点间直线段最短”这一公理，可得出SO+OA这一路径为光程最短（极小值）。即O点为入射点，入射光线SO，反射光线恰好经过P点。若过O点作一法线ON，显然易证∠PON＝∠SON,即遵循光的反射定律。
问题拓展：
平面镜成像原理分析。
图－5所示，欲在河流M上建设一个抽水站，同时供应甲、乙两地水厂，则最节约之管道建设方案为选址何处。（问题解答从略）

电阻并联问题之讨论
电阻并联问题之讨论是电学中基本问题之一，虽说并非过于复杂，然具体教学中发现学生讨论总电阻R与R1、R2之关系时极易出现问题。发析其关系，其实可建立下文所述之数学模型（甚而可制作模型工具），疑难之处尽皆释然。
问题提出：
图－6所示，R1和R2并联，总电阻R，试讨论总电阻R与R1、R2之关系。
问题分析：
皆知，1/R＝1/R1+1/R2，该表达式相对较为复杂，故而讨论R与R1、R2之关系时无法一目了然，那么如何解决，简而化之呢。分析图－7所示几何问题，射线OA、OB,∠AOB=1200，OC平分∠AOB＝1200。直线l交OA、OC、OB于点D、E、F。显然易证：1/OE＝1/OD+1/OF.

模型建立及问题解答：
由分析可建立模型（甚而可制作为教具），测量或讨论总电阻R与支路R1，R2之关系。

3.合力与分力之关系
力学中有关，有关二力合成知识中合力与分力之讨论。一般用平行四边形法则（或三角形法则）进行相关运算，如图－8，F1、F2,合力为F。
仔细分析，不难发现，上述过程本身已运用了三角形基本知识，应该说其为数学建模思想于物理问题分析中之基本的应用。

问题分析中数学建模思想运用之哲学方法论思考
中学教学（不仅仅限于物理学科）所注重的应是对学生问题分析能力的训练，而绝非仅是知识的获得。而哲学上有这样一句谚语，“我不要你的金子，我要你点石成金的指头”。这神奇珍贵的“指头”在科学研究中就是研究方法。在教学中就是总在专家与一般教师言辞中的能力因素的培养训练。而随着科学技术、经济的发展，数学日益成为一种技术，而于问题分析中注重数学建模思想的运用则更是基于训练方法为出发点的，也是基于方法论这一层面的。
而问题分析中，若能通过数学建模思想的运用、训练，从哲学方法论的层面、高度去把握，往往能把问题分析得更深刻、更透彻。
现代认知主义学习理论认为：人的认识不是由外界刺激直接给予的，而是外界刺激和认知主体内部心理过程相互作用的结果。根据这一观点，具体教学中，教师的任务不是简单地向学生灌输知识，而是首先激发学生的学习兴趣和学习动机，然后再将当前的教学内容与学生原有的认知结构（过去的知识和经验）有机地联系起来，学生不再是外界刺激的被动接收器，而是主动地对外界刺激提供的信息进行选择性加工的主体。而数学建模思想于问题分析中的运用正体现了以上观点，也体现了马克思主义认识论的基本观点，同时数学建模思想中更蕴涵建构主义学习理论的主题内涵。

结论
由具体问题分析中，数学建模思想的运用实例中，可以看出，数学建模是解决实际问题的一种思想方法，体现了解决应用问题的基本方法与步骤，是现代认知理论、建构主义学习理论与实践的有机统一，更体现了具体与抽象的结合、认识与发展的和谐统一。

参考文献及附注：
殷堰工·关于中学数学建模教学的思考 ·《苏州教育》2003.3
南国农·《面向21世纪的中国电化教育》
皮亚杰·《发生认识论》·商务印书馆1981版
《马克思主义基本原理》·高等教育出版社
费马原理原始表达形式：一束光经过两介质界面时，无论反射或折射，在两点间实际所走的路径总是以最短的时间通过的那条路径。

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