求不定积分∫x^2arcsinx/√(1-x^2)

如题所述

具体回答如下：

令t = arcsinx，dx = cost dt

I = ∫ t sin²t dt = (1/2) ∫ t (1﹣cos2t) dt

= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t + (1/4) ∫ sin2t dt

= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t ﹣ (1/8) cos2t + C 

= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx ﹣ (1/8) (1﹣2x²) + C

= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx + (1/4) x² + C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。