现在我们学的是欧式几何,即平面几何,创始人:欧几里德。
在黎曼几何等非欧几何中,并不是在平面上研究,因而产生:“平行线有交点”的结论。大学里我们就会学到微积分,里面会包含非欧几何。
即平行线研究的角度不同,定义不同,此平行线非彼平行线。
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我们老师也说过这个问题,他举了个很生动的例子。
物理学中我们会知道:太阳光是平行光,可太阳光的源头就是太阳,即有交点。
一般研究宇宙、天文时会用到。
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黎曼几何和欧氏几何的不同功能
在数学界,欧氏几何仍占主流;而物理界,则用的是黎曼几何。
因为据黎曼几何,光线按曲线运动;而欧氏几何中,光线按直线运动。
黎曼几何、欧式几何、罗氏几何它们之间的关系是可以相互转化的,一点都不矛盾。欧式几何是把认识停留在平面上了,所研究的范围是绝对的平的问题,认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。但是假如我们生活的空间是一个双曲面,(不是双曲线),这个双曲面,我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩,我们就在这个双曲面里画三角形,这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面,我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线,那么这样的三角形就是罗氏三角形,经过论证发现,任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度,无论怎么画都不能超出180度,但是当把这个双曲面渐渐展开时,一直舒展成绝对平的面,这时罗氏三角形就变成了欧式三角形,也就是我们在初中学的平面几何,其内角和自然是180度。在平面上,两点间的最短距离是线段,但是在双曲面上,两点间的最短距离则是曲线,因为平面上的最短距离在平面上,那么曲面上的最短距离也只能在曲面上,而不能跑到曲面外抻直,故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后,再继续朝平面的另一个方向变,则变成了椭圆面或圆面,这个时候,如果我们在这个椭圆面上画三角形,将发现,无论怎么画,这个三角形的内角和都大于180度,两点间的最短距离依然是曲线,这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用,因为光在空间上就是沿着曲线跑的,并非是直线,我们生活在地球上,因此我们的空间也是曲面,而不是平面,但为了
生活方便,都不做严格规定,都近似地当成了平面。
参考资料:http://baike.baidu.com/view/184827.htm