已知函数f(x)=x^2+(x-1)|x-a|.(3)是否存在实数a,使不等式f(x)≥2x-3对任意x∈R恒成立。
解：f(x)≥2x-3对任意x∈R恒成立，
<==>1)x≥a,x^2+(x-1)(x-a)≥2x-3,
且2)x<a,x^2+(x-1)(a-x)≥2x-3.
由1)x^2+x^2-(a+1)x+a≥2x-3,
2x^2-(a+3)x+a+3≥0对x≥a恒成立，
<==>(a+3)^2-8(a+3)<=0,或“(a+3)/4≤a,2a^2-a(a+3)+a+3≥0”
分别解得-3≤a≤5,或a≥1,
∴a≥-3.
由2)(a+1)x-a≥2x-3,a≤3-x对x<a恒成立，
∴a<3-a,2a<3,a<3/2.
求1),2)的交集得-3≤a<3/2,为所求。
解：f(x)≥2x-3对任意x∈R恒成立，
<==>1)x≥a,x^2+(x-1)(x-a)≥2x-3,
且2)x<a,x^2+(x-1)(a-x)≥2x-3.
由1)x^2+x^2-(a+1)x+a≥2x-3,
2x^2-(a+3)x+a+3≥0对x≥a恒成立，
<==>(a+3)^2-8(a+3)<=0,或“(a+3)/4≤a,2a^2-a(a+3)+a+3≥0”
分别解得-3≤a≤5,或a≥1,
∴a≥-3.
由2)(a+1)x-a≥2x-3,a≤3-x对x<a恒成立，
∴a<3-a,2a<3,a<3/2.
求1),2)的交集得-3≤a<3/2,为所求。
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